Download Algebra: Gruppen – Ringe – Körper by PD Dr. Christian Karpfinger, Prof. Dr. Kurt Meyberg (auth.) PDF

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By PD Dr. Christian Karpfinger, Prof. Dr. Kurt Meyberg (auth.)

Dieses Lehrbuch zur Algebra bietet eine Einführung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Es werden die Themen eines Grundkurses zur Algebra ausführlich und motivierend behandelt.

Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bemüht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisführungen sind ausführlich, die Kapitel sind in kleine Lerneinheiten unterteilt. Diese Lerneinheiten führen Schritt für Schritt an die Ergebnisse heran und können durch diese Darstellung vom Leser besser nachvollzogen werden.

Die zahlreichen Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade zum Ende der Kapitel überprüfen das Gelernte und fördern das tiefere Verständnis der Theorie. Auf der web site zum Buch stehen ausführliche Lösungsvorschläge zu den Aufgaben bereit.

Die three. Auflage wurde vollständig durchgesehen und um ein Kapitel über freie Gruppen erweitert.

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Sie sind gleichbedeutend mit a N ⊆ N a und N a ⊆ a N , also mit a N = N a. Bevor wir zu den Beispielen kommen, wollen wir nur kurz anmerken, dass man die Eigenschaft a N a−1 ⊆ N für einen Normalteiler N einer Gruppe G nach bewährtem Rezept für alle a ∈ G nachweist: Man nehme x ∈ N (beliebig), a ∈ G (beliebig) und zeige a x a−1 ∈ N . 1 Die trivialen Untergruppen {e} und G einer Gruppe G sind stets Normalteiler von G, da a {e} a−1 = {e} und a G a−1 ⊆ G für alle a ∈ G erfüllt ist. In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe U ein Normalteiler, da in solchen Gruppen stets a U = U a erfüllt ist.

Für alle natürlichen Zahlen k, m ist m Z eine Untergruppe von Z und k m Z eine solche von m Z, es gilt somit k m Z ≤ m Z ≤ Z. Ferner gilt [Z : k m Z] = k m und [Z : m Z] · [m Z : k m Z] = m k. 1 Es seien U1 , . . , Un Untergruppen einer Gruppe G. Zeigen Sie: n n Ui ≤ G: i=1 [G : Ui ] . 2 Man gebe zu jeder Untergruppe U von S3 die Partitionen von S3 mit Links- bzw. Rechtsnebenklassen nach U an. Geben Sie Beispiele für U a = a U an. 3 Welche Ordnungen haben die Elemente A = 0 −1 1 ,B= 0 0 −1 1 −1 und A B aus GL2 (R)?

Isomorphiesatz) Für jede Untergruppe U und jeden Normalteiler N einer Gruppe G gilt U N ≤ G, U ∩ N U und U N/N ∼ = U/U ∩ N . 4 und offenbar N ⎧ ⎨ U → G/N π: ⎩ a → aN UN ∼ = U N U ∩N U N . Ferner ist als Restriktion des kanonischen Epimorphismus von G auf G/N ein Homomorphismus mit dem Bild π(U ) = {u N | u ∈ U } = {u v N | u ∈ U, v ∈ N } = U N/N und dem Kern U ∩ N . 10 an. 8 Es seien U eine Untergruppe und N ein Normalteiler der Gruppe G mit G = U N und U ∩ N = {e}. Man nennt in dieser Situation G das semidirekte Produkt von U mit N .

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