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By Andre Mercier

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262), Bd. 1): V(x, y, z) = −α x2 + y2 + z 2 (z. B. α = γ m M) . In kartesischen Koordinaten ergeben sich recht komplizierte Bewegungsgleichungen. Wir haben im Beispiel 3 des Abschn. 1 bereits die Verwendung von Kugelkoordinaten als generalisierte Koordinaten als zweckmäßig erkannt. In diesen lautet die LagrangeFunktion: ˙ , ϕ˙ = L r, ϑ, ϕ, ˙r, ϑ m 2 2˙ 2 2 α ˙r + r ϑ + r sin2 ϑ ϕ˙ 2 + . 66) Allein aus der unmittelbaren Beobachtung, dass die Koordinate ϕ zyklisch ist, ergeben sich wichtige physikalische Folgerungen: pϕ = ∂L ˙ = Lz = const .

Generalisierte Koordinaten q festlegen. 3. Lagrange-Funktion L = T − V = L(q, q˙ , t) aufstellen. 4. 36) ableiten und lösen. 5. Rücktransformation auf „anschauliche“ Koordinaten. Wir wollen dieses Verfahren an einigen Anwendungsbeispielen üben. 1) Atwood’sche Fallmaschine Es handelt sich um ein konservatives System mit fünf holonom-skleronomen Zwangsbedingungen: x1 + x2 = l = const , y1 = y2 = z1 = z2 = 0 . Es bleiben also S=6−5=1 x1 Z1 x2 m1 Z2 m2 Abb. 15. Atwood’sche Fallmaschine 22 1. Lagrange-Mechanik Freiheitsgrade.

S . 71) Der erste Summand ist hier gegenüber dem Fall des konservativen Systems neu. 36). 71) auch sehr speziell aus. Es gibt jedoch ein sehr wichtiges Anwendungsbeispiel: Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld! 32 1. 73) wirkt. Diese ist nicht konservativ. 71). Um dies zu zeigen, schreiben wir F zunächst auf die elektromagnetischen Potentiale, ϕ(r, t) : skalares Potential ; A(r, t) = Vektorpotential , um. 74) automatisch erfüllt sind: B = rot A ; E = −∇ ϕ − ∂ A. 75), die wir im Folgenden nicht weiter benötigen, bezeichnen H das magnetische Feld, D die dielektrische Verschiebung, j die Stromdichte und ρ die Ladungsdichte.

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